林峯生于中国厦门,2岁移居中国香港。本名林逸峰,林峯是艺名,寓意“跨越一座又一座的高山”。林峯小学就读采用国语教学的香港北角苏浙小学,因此能讲流利的国语,中学就读圣保罗男书院。
林峯曾祖母是西班牙人,因此他有1/16的西班牙血统。祖父林梦飞,毕业于黄埔军校第五期,参加过北伐战争、抗日战争;在叶挺的“铁团”里担任过指导员,被国民政府授予少将军衔;厦门著名起义将领,解放后历任民革中央委员、福建省政协副主席等,晚年弃政从商。父亲林华国,哲学博士,与邵逸夫一同获颁厦门市首届“荣誉市民”,经商。
林父希望作为长子嫡孙的林峯子承父业,林峯却选择一条与父辈迥然不同的路,希望用实力证明自己。林父虽遗憾却包容林峰的选择,并寄语:大其心,容天下难容之事;潜其心,关天下微妙之理;宽其心,听天下难听之言;定其心,应天下无常之变。对于家庭背景多次被拿出来炒新闻,林峰很无奈,却认为“从第一天开始我就知道,我的努力最起码比别人多一倍,人家才会把我当正常人去对待,但是,永远人家都会带着有色眼镜去看你”。